cos’è il Nastro di Möbius, curiosità e a cosa serve

Il nastro di Möbius è una superficie che ha qualcosa di magico: ha una faccia sola, non è orientabile e se ci camminiamo sopra riusciamo a percorrere tutti i punti della sua superficie senza mai cambiare strada. Se prendiamo una strisciolina di carta, facciamo fare un mezzo giro ad uno dei due estremi e li incolliamo insieme, otteniamo proprio un nastro di Möbius. Una figura così semplice da costruire è in realtà estremamente complessa. Non ha un lato “interno” e un lato “esterno”, ha un unico bordo e in base a come la tagliamo otteniamo figure differenti. La sua più grande particolarità è essere una “strada infinita”: se con un dito iniziamo a percorrere il nastro e segniamo via via il nostro percorso, possiamo facilmente vedere che ricopriremo tutta la superficie del foglio senza mai staccare il dito.
Scoperta e studiata nel 1858 dal matematico tedesco August Ferdinand Möbius, questa figura ha trovato applicazioni nei nastri trasportatori, nei circuiti elettronici, nei trucchi di magia e persino nello studio del DNA. In questo articolo vediamo alcune delle sue proprietà curiose e spieghiamo la matematica dietro al trucco delle “bande afghane”.

Cos’è il Nastro di Möbius e come si costruisce

Il nastro di Möbius fu scoperto e studiato indipendentemente da due matematici tedeschi: Johann Benedict Listing e August Ferdinand Möbius, da cui prende il nome. Costruire un nastro di Möbius è molto semplice. Basta prendere un pezzo di carta rettangolare con il lato più lungo pari ad almeno due volte il lato più corto – insomma, una striscia di carta! – far fare mezzo giro ad uno degli estremi e poi incollarli insieme. Quello che otterremo sarà simile all’immagine.

Questa struttura ha una geometria particolare. Infatti, se prendiamo una matita e iniziamo a tracciare una linea su tutta la lunghezza senza mai staccare la matita dal foglio, riusciremo a tornare al punto di partenza avendo percorso l’intera superficie sia “dentro” che “fuori” senza aver mai dovuto attraversare il bordo. Questo succede proprio perché il nastro di Möbius non ha un dentro e un fuori! In una superficie classica, come ad esempio il cilindro, esiste un lato interno e uno esterno e possiamo passare da uno all’altro soltanto attraversando uno dei due bordi, quello superiore o inferiore. Se mettessimo la matita sul lato esterno del cilindro, infatti, torneremmo al punto di partenza senza aver mai colorato la parte interna. Nel nastro di Möbius, invece, c’è un solo lato, che costituisce l’intera superficie, e un solo bordo. Su questa superficie non si può definire in maniera univoca ciò che sta dentro e ciò che sta fuori, ma neanche ciò che sta sotto e ciò che sta sopra. In maniera un po’ più formale, si dice che il nastro di Möbius è una superficie “non orientabile”.

Per capire meglio cosa significhi, guardiamo la figura:

Un modo matematico per rappresentare un cilindro e un nastro di Möbius sono questi diagrammi. Quando incolliamo le estremità tra loro, le frecce devono combaciare. Nel diagramma in alto, che rappresenta un cilindro, non dobbiamo far fare nessuna rotazione quando incolliamo la carta, e se facciamo “passare” la faccia attraverso il punto in cui abbiamo incollato le estremità, questa arriverà all’altro capo della striscia rimanendo orientata nello stesso verso e trovandosi sempre in alto. Il cilindro, infatti, è una superficie orientabile. Nel nastro di Möbius, che è una superficie non orientabile, vediamo invece che quando passerà attraverso il punto di “cucitura”, la faccia si troverà completamente ribaltata.

Cosa succede se tagliamo il nastro di Möbius a metà: i trucchi di magia

Se tagliamo un cilindro a metà, otteniamo due anelli separati, ma se tagliamo allo stesso modo il nastro di Möbius, otteniamo un unico anello. Questo effetto è sfruttato anche in trucchi di magia, come nel gioco delle “Bande Afghane”. In questo trucco si tagliano a metà un cilindro, un nastro di Möbius e un nastro a cui è stata fatta fare una torsione completa prima di incollare. Nel primo caso si ottengono due anelli separati, nel secondo un unico anello e nel terzo due anelli intrecciati. Quest’ultimo effetto può essere ottenuto anche tagliando il nastro di Möbius ad un terzo della larghezza. Per capire come mai accade, usiamo di nuovo i diagrammi.

Se guardiamo il diagramma vediamo che la parte alta della striscia si connette con la parte bassa (le due “A” rosse), per poi riconnettersi con la parte alta (le due “B” blu). Quindi, stiamo ottenendo un unico anello tutto collegato. Se, invece, lo tagliamo ad un terzo della larghezza, la parte alta si connetterà alla parte bassa come nel primo caso, ma ora avremo un secondo anello composto solo dalla parte centrale. Questo anello, più piccolo, sarà anch’esso un nastro di Möbius e sarà intrecciato con l’anello più grande. Provare per credere.

Le applicazioni del nastro di Möbius

Proprio per le sue proprietà geometriche, il nastro di Möbius è stato utilizzato in numerose applicazioni tecniche, dai nastri di registrazione a ciclo continuo, ai nastri delle macchine da scrivere e nelle cartucce di stampa dei computer. In passato, le cinghie di trasmissione dei macchinari avevano spesso mezza torsione, così da usurare l’intera superficie del nastro in uguale misura, durando più a lungo. La prima testimonianza scritta di questo utilizzo industriale è del 1871, ma possiamo trovare disegni di macchinari che lo utilizzano già nel “Libro della conoscenza di ingegnosi dispositivi meccanici” di al-Jazari del 1206. Anche in ambiti creativi, come la progettazione di montagne russe e ponti iconici come il Wuchazi in Cina, il nastro di Möbius continua a ispirare soluzioni che combinano scienza e design.